potisanのプログラミングメモ

趣味のプログラマーがプログラミング関係で気になったことや調べたことをいつでも忘れられるようにメモするブログです。はてなブログ無料版なので記事の上の方はたぶん広告です。記事中にも広告挿入されるみたいです。

循環小数 $\displaystyle 0.nnn...=\frac n9$ （ $0 \leq n \leq 9$ ）の成立を証明します。

$\displaystyle x=0.999...$ とおくと、

$\displaystyle 10x=9.999...$

$\displaystyle 10x-x=9x=0.999...-9.999...=9$

$\displaystyle x=\frac 99=1$

$\displaystyle x=0.333...$ とおくと、

$\displaystyle 10x=3.333...$

$\displaystyle 10x-x=9x=0.333...-3.333...=3$

$\displaystyle x=\frac 39=\frac 13$

$\displaystyle x=0.nnn...$ （nは $1 \leq n \leq 9$ の整数）とおくと、

$\displaystyle 10x=n.nnn...$

$\displaystyle 10x-x=9x=0.nnn...-n.nnn...=n$

$\displaystyle x=\frac n9$